第一章 函数与极限

$\varepsilon - \delta$ 定义#

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若存在常数 $A$，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有

$|f(x) - A| < \varepsilon$

则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$

第一个重要极限#

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

第二个重要极限#

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

等价形式：

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

典型例题#

求极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

解：

$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$

当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\cos x \to 1$

$= \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2}$