halfman的破站

Sun, 31 May 2026 00:00:00 GMT

题型一：#

特征#

什么情况下用这个方法

解法#

第一步
第二步
第三步

例题 1#

题：

解：

[!Key]

例题 2#

题：

解：

[!Key]

易错点#

题型二：#

特征#

解法#

例题 1#

题：

解：

[!Key]

例题 2#

题：

解：

[!Key]

易错点#

题型三：#

特征#

解法#

例题 1#

题：

解：

[!Key]

易错点#

总结#

题型	特征	核心方法

题型一：#

特征#

什么情况下用这个方法

解法#

第一步
第二步
第三步

例题 1#

题：

解：

关键：

例题 2#

题：

解：

关键：

易错点#

题型二：#

特征#

解法#

例题 1#

题：

解：

关键：

例题 2#

题：

解：

关键：

易错点#

题型三：#

特征#

解法#

例题 1#

题：

解：

关键：

易错点#

总结#

题型	特征	核心方法

第三章进程管理

Fri, 29 May 2026 00:00:00 GMT

3.1 进程的基本概念#

进程的定义#

进程是程序的一次执行过程，是系统进行资源分配和调度的基本单位。

Note

进程与程序的区别：进程是动态的，程序是静态的。一个程序可以对应多个进程。

进程的组成#

PCB（进程控制块）：进程存在的唯一标志
程序段：存放要执行的代码
数据段：存放程序运行时使用的数据

进程的状态与转换#

进程的五种基本状态：

状态	含义
创建态	进程正在被创建
就绪态	进程已获得除 CPU 之外的所有资源
运行态	进程正在 CPU 上执行
阻塞态	进程因等待某事件而暂停运行
终止态	进程正在从系统中消失

状态转换关系：

1
创建态 → 就绪态 → 运行态 → 终止态
2
              ↑       ↓
3
              └── 阻塞态 ←┘

Tip

重点考点：就绪态 → 运行态（进程调度）、运行态 → 就绪态（时间片到）、运行态 → 阻塞态（请求 I/O）、阻塞态 → 就绪态（I/O 完成）

3.2 进程调度算法#

FCFS（先来先服务）#

1
def fcfs(processes):
2
    """先来先服务调度算法"""
3
    processes.sort(key=lambda p: p.arrival_time)
4
    current_time = 0
5
    for p in processes:
6
        if current_time < p.arrival_time:
7
            current_time = p.arrival_time
8
        p.start_time = current_time
9
        p.wait_time = current_time - p.arrival_time
10
        current_time += p.burst_time
11
        p.finish_time = current_time
12
    return processes

SJF（短作业优先）#

短作业优先算法选择运行时间最短的作业优先执行：

Tavg=1n∑i=1nTiT_{avg} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} T_iTavg=n1∑i=1nTi

其中 Ti=Ci−AiT_i = C_i - A_iTi=Ci−Ai，CiC_iCi 为完成时间，AiA_iAi 为到达时间。

Warning

SJF 存在饥饿问题：长作业可能永远得不到执行。且需要预先知道作业的运行时间。

时间片轮转（RR）#

时间片轮转算法的关键参数是时间片 qqq：

qqq 太大 → 退化为 FCFS
qqq 太小 → 上下文切换开销过大

3.3 进程同步与互斥#

临界区问题#

1
// 进程 Pi 的通用结构
2
while (true) {
3
    entry section;      // 进入区：检查并设置标志
4
    critical section;   // 临界区：访问共享资源
5
    exit section;       // 退出区：清除标志
6
    remainder section;  // 剩余区：其他操作
7
}

Peterson 算法#

1
bool flag[2] = {false, false};
2
int turn;
3

4
void process_i(int i) {
5
    int j = 1 - i;
6
    flag[i] = true;
7
    turn = j;
8
    while (flag[j] && turn == j)
9
        ; // 忙等待
10
    // 临界区
11
    critical_section();
12
    flag[i] = false;
13
}

信号量机制#

P(S):S=S−1;if S<0 then blockP(S): S = S - 1; \text{if } S < 0 \text{ then block}P(S):S=S−1;if S<0 then block V(S):S=S+1;if S≤0 then wakeupV(S): S = S + 1; \text{if } S \leq 0 \text{ then wakeup}V(S):S=S+1;if S≤0 then wakeup

Note

考研高频考点：用信号量实现生产者-消费者问题、读者-写者问题、哲学家进餐问题。务必熟练掌握！

本章是操作系统的核心章节，建议结合王道考研视频 + 课本例题反复练习。

数学LaTeX公式速查手册

Fri, 29 May 2026 00:00:00 GMT

一、基础符号#

符号	LaTeX	示例
加减	`\pm`	±\pm±
乘	`\times`	×\times×
除	`\div`	÷\div÷
不等于	`\neq`	≠\neq=
大于等于	`\geq`	≥\geq≥
小于等于	`\leq`	≤\leq≤
约等于	`\approx`	≈\approx≈
无穷	`\infty`	∞\infty∞
点乘	`\cdot`	⋅\cdot⋅
叉乘	`\times`	×\times×
星号	`\ast`	∗\ast∗
正负	`\pm`	±\pm±
负正	`\mp`	∓\mp∓

二、希腊字母#

小写	大写	LaTeX
α	A	`\alpha`
β	B	`\beta`
γ	Γ	`\gamma`
δ	Δ	`\delta`
ε	E	`\epsilon`
ζ	Z	`\zeta`
η	H	`\eta`
θ	Θ	`\theta`
ι	I	`\iota`
κ	K	`\kappa`
λ	Λ	`\lambda`
μ	M	`\mu`
ν	N	`\nu`
ξ	Ξ	`\xi`
π	Π	`\pi`
ρ	P	`\rho`
σ	Σ	`\sigma`
τ	T	`\tau`
υ	Υ	`\upsilon`
φ	Φ	`\phi`
χ	X	`\chi`
ψ	Ψ	`\psi`
ω	Ω	`\omega`

三、集合符号#

符号	LaTeX	示例
属于	`\in`	∈\in∈
不属于	`\notin`	∉\notin∈/
包含于	`\subseteq`	⊆\subseteq⊆
真包含于	`\subset`	⊂\subset⊂
并集	`\cup`	∪\cup∪
交集	`\cap`	∩\cap∩
空集	`\emptyset`	∅\emptyset∅
全集	`\mathbb{R}`	R\mathbb{R}R
实数集	`\mathbb{R}`	R\mathbb{R}R
整数集	`\mathbb{Z}`	Z\mathbb{Z}Z
自然数集	`\mathbb{N}`	N\mathbb{N}N
复数集	`\mathbb{C}`	C\mathbb{C}C
任意	`\forall`	∀\forall∀
存在	`\exists`	∃\exists∃

四、微积分符号#

4.1 导数#

符号	LaTeX	示例
一阶导数	`\frac{dy}{dx}`	dydx\frac{dy}{dx}dxdy
二阶导数	`\frac{d^2y}{dx^2}`	d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}dx2d2y
n阶导数	`\frac{d^ny}{dx^n}`	dnydxn\frac{d^ny}{dx^n}dxndny
偏导数	`\frac{\partial y}{\partial x}`	∂y∂x\frac{\partial y}{\partial x}∂x∂y
二阶偏导	`\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}`	∂2y∂x2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}∂x2∂2y
混合偏导	`\frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}`	∂2y∂x∂y\frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}∂x∂y∂2y
导数值	`f'(x)`	f′(x)f'(x)f′(x)
二阶导数值	`f''(x)`	f′′(x)f''(x)f′′(x)
n阶导数值	`f^{(n)}(x)`	f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x)

4.2 积分#

符号	LaTeX	示例
不定积分	`\int f(x) dx`	∫f(x)dx\int f(x) dx∫f(x)dx
定积分	`\int_a^b f(x) dx`	∫abf(x)dx\int_a^b f(x) dx∫abf(x)dx
二重积分	`\iint_D f(x,y) dA`	∬Df(x,y)dA\iint_D f(x,y) dA∬Df(x,y)dA
三重积分	`\iiint_\Omega f(x,y,z) dV`	∭Ωf(x,y,z)dV\iiint_\Omega f(x,y,z) dV∭Ωf(x,y,z)dV
曲线积分	`\oint_L P dx + Q dy`	∮LPdx+Qdy\oint_L P dx + Q dy∮LPdx+Qdy

4.3 极限#

符号	LaTeX	示例
极限	`\lim_{x \to a}`	lim⁡x→a\lim_{x \to a}limx→a
左极限	`\lim_{x \to a^-}`	lim⁡x→a−\lim_{x \to a^-}limx→a−
右极限	`\lim_{x \to a^+}`	lim⁡x→a+\lim_{x \to a^+}limx→a+
无穷极限	`\lim_{x \to \infty}`	lim⁡x→∞\lim_{x \to \infty}limx→∞

4.4 求和与求积#

符号	LaTeX	示例
求和	`\sum_{i=1}^n a_i`	∑i=1nai\sum_{i=1}^n a_i∑i=1nai
求积	`\prod_{i=1}^n a_i`	∏i=1nai\prod_{i=1}^n a_i∏i=1nai
连加	`\sum_{n=0}^\infty a_n`	∑n=0∞an\sum_{n=0}^\infty a_n∑n=0∞an

五、三角函数#

符号	LaTeX	示例
正弦	`\sin x`	sin⁡x\sin xsinx
余弦	`\cos x`	cos⁡x\cos xcosx
正切	`\tan x`	tan⁡x\tan xtanx
余切	`\cot x`	cot⁡x\cot xcotx
正割	`\sec x`	sec⁡x\sec xsecx
余割	`\csc x`	csc⁡x\csc xcscx
反正弦	`\arcsin x`	arcsin⁡x\arcsin xarcsinx
反余弦	`\arccos x`	arccos⁡x\arccos xarccosx
反正切	`\arctan x`	arctan⁡x\arctan xarctanx

六、对数与指数#

符号	LaTeX	示例
自然对数	`\ln x`	ln⁡x\ln xlnx
常用对数	`\lg x`	lg⁡x\lg xlgx
对数	`\log_a x`	log⁡ax\log_a xlogax
指数	`e^x`	exe^xex
幂	`x^n`	xnx^nxn
根号	`\sqrt{x}`	x\sqrt{x}x
n次根	`\sqrt[n]{x}`	xn\sqrt[n]{x}nx

七、线性代数#

7.1 矩阵#

1
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  % 圆括号
2
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}  % 方括号
3
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  % 行列式
4
\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}  % 范数

效果：

(abcd)[abcd]∣abcd∣\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}(acbd)[acbd]acbd

7.2 常用矩阵#

单位矩阵：

1
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

E=(100010001)E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}E=100010001

对角矩阵：

1
\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{pmatrix}

Λ=(λ1λ2λ3)\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{pmatrix}Λ=λ1λ2λ3

7.3 向量#

符号	LaTeX	示例
向量	`\vec{v}`	v⃗\vec{v}v
粗体向量	`\mathbf{v}`	v\mathbf{v}v
列向量	`\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}`	(xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}xyz
行向量	`(x, y, z)`	(x,y,z)(x, y, z)(x,y,z)
范数	`\|\vec{v}\|`	∥v⃗∥\\|\vec{v}\\|∥v∥
点积	`\vec{a} \cdot \vec{b}`	a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}a⋅b
叉积	`\vec{a} \times \vec{b}`	a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}a×b

八、概率论#

8.1 概率符号#

符号	LaTeX	示例
概率	`P(A)`	P(A)P(A)P(A)
条件概率	`P(A \mid B)`	P(A∣B)P(A \mid B)P(A∣B)
联合概率	`P(AB)`	P(AB)P(AB)P(AB)
全概率	`P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A \mid B_i)`	P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A \mid B_i)P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)
贝叶斯	`P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i)P(A \mid B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A \mid B_j)}`	P(Bi∣A)=P(Bi)P(A∣Bi)∑j=1nP(Bj)P(A∣Bj)P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i)P(A \mid B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A \mid B_j)}P(Bi∣A)=∑j=1nP(Bj)P(A∣Bj)P(Bi)P(A∣Bi)

8.2 随机变量#

符号	LaTeX	示例
期望	`E(X)`	E(X)E(X)E(X)
方差	`D(X)`	D(X)D(X)D(X)
标准差	`\sigma`	σ\sigmaσ
协方差	`\text{Cov}(X,Y)`	Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)
相关系数	`\rho_{XY}`	ρXY\rho_{XY}ρXY

8.3 常见分布#

二项分布 X∼B(n,p)X \sim B(n,p)X∼B(n,p)：

1
P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n

P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,…,nP(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,nP(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,…,n

正态分布 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)：

1
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2

泊松分布 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)X∼P(λ)：

1
P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots

P(X=k)=λke−λk!,k=0,1,2,…P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dotsP(X=k)=k!λke−λ,k=0,1,2,…

指数分布 X∼E(λ)X \sim E(\lambda)X∼E(λ)：

1
f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}

f(x)={λe−λx,x>00,x≤0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0

九、常见公式#

9.1 极限公式#

两个重要极限：

1
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1x→0limxsinx=1

1
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = ex→∞lim(1+x1)x=e

9.2 洛必达法则#

1
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x)

9.3 泰勒展开#

1
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdotsex=n=0∑∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+⋯

1
\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−⋯\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdotssinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1=x−3!x3+5!x5−⋯

1
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22!+x44!−⋯\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdotscosx=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n=1−2!x2+4!x4−⋯

1
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnn=x−x22+x33−⋯\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdotsln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n−1xn=x−2x2+3x3−⋯

1
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1

11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯ ,∣x∣<1\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 11−x1=n=0∑∞xn=1+x+x2+x3+⋯,∣x∣<1

9.4 积分公式#

1
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

∫xndx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1∫xndx=n+1xn+1+C,n=−1

1
\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C∫x1dx=ln∣x∣+C

1
\int e^x dx = e^x + C

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C∫exdx=ex+C

1
\int \sin x dx = -\cos x + C

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C

1
\int \cos x dx = \sin x + C

∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C∫cosxdx=sinx+C

1
\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C

∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C

1
\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C

∫1a2+x2dx=1aarctan⁡xa+C\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C∫a2+x21dx=a1arctanax+C

1
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C

∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C∫a2−x21dx=arcsinax+C

9.5 欧拉公式#

1
e^{ix} = \cos x + i\sin x

eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x + i\sin xeix=cosx+isinx

1
e^{i\pi} + 1 = 0

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0eiπ+1=0

十、使用技巧#

10.1 LaTeX Suite 快捷输入#

输入	替换为	效果
`ff`	`\frac{}{}`	分数
`sq`	`\sqrt{}`	根号
`pp`	`^{}`	上标
`__`	`_{}`	下标
`inn`	`\int`	积分
`sum`	`\sum`	求和
`lim`	`\lim`	极限
`->`	`\to`	箭头
`>=`	`\geq`	大于等于
`<=`	`\leq`	小于等于
`!=`	`\neq`	不等于
`...`	`\cdots`	省略号
`**`	`\cdot`	点乘
`xx`	`\times`	叉乘
`		`
`AA`	`\forall`	任意
`EE`	`\exists`	存在
`RR`	`\mathbb{R}`	实数集
`ZZ`	`\mathbb{Z}`	整数集
`NN`	`\mathbb{N}`	自然数集

10.2 分段函数#

1
f(x) = \begin{cases}
2
x^2, & x > 0 \\
3
0, & x = 0 \\
4
-x, & x < 0
5
\end{cases}

f(x)={x2,x>00,x=0−x,x<0f(x) = \begin{cases} x^2, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧x2,0,−x,x>0x=0x<0

10.3 多行公式对齐#

1
\begin{aligned}
2
(a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\
3
(a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\
4
a^2 - b^2 &= (a+b)(a-b)
5
\end{aligned}

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2a2−b2=(a+b)(a−b)\begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\ a^2 - b^2 &= (a+b)(a-b) \end{aligned}(a+b)2(a−b)2a2−b2=a2+2ab+b2=a2−2ab+b2=(a+b)(a−b)

10.4 方程组#

1
\begin{cases}
2
x + y = 5 \\
3
2x - y = 1
4
\end{cases}

{x+y=52x−y=1\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}{x+y=52x−y=1

本手册涵盖考研数学常用LaTeX公式，建议收藏备用。

第一章函数与极限

Thu, 28 May 2026 00:00:00 GMT

1.1 函数极限的定义#

ε−δ\varepsilon - \deltaε−δ 定义#

设函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 的某去心邻域内有定义，若存在常数 AAA，对于任意给定的 ε>0\varepsilon > 0ε>0，总存在 δ>0\delta > 0δ>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0∣<δ 时，有

∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon∣f(x)−A∣<ε

则称 AAA 为 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0x \to x_0x→x0 时的极限，记作

lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0f(x)=A

Tip

记忆技巧：ε\varepsilonε 是”误差容忍度”，δ\deltaδ 是”自变量的控制范围”。极限的本质是”任意小的误差都可以通过控制自变量来实现”。

1.2 极限的运算法则#

若 lim⁡f(x)=A\lim f(x) = Alimf(x)=A，lim⁡g(x)=B\lim g(x) = Blimg(x)=B，则：

lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm Blim[f(x)±g(x)]=A±B

lim⁡[f(x)⋅g(x)]=A⋅B\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot Blim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B

lim⁡f(x)g(x)=AB(B≠0)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)limg(x)f(x)=BA(B=0)

1.3 两个重要极限#

第一个重要极限#

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1limx→0xsinx=1

Note

推广形式：lim⁡x→0sin⁡axbx=ab\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}limx→0bxsinax=ba

第二个重要极限#

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = elimx→∞(1+x1)x=e

等价形式：

lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = elimx→0(1+x)x1=e

1.4 等价无穷小替换#

当 x→0x \to 0x→0 时：

原式	等价无穷小
sin⁡x\sin xsinx	xxx
tan⁡x\tan xtanx	xxx
arcsin⁡x\arcsin xarcsinx	xxx
arctan⁡x\arctan xarctanx	xxx
1−cos⁡x1 - \cos x1−cosx	12x2\frac{1}{2}x^221x2
ex−1e^x - 1ex−1	xxx
ln⁡(1+x)\ln(1+x)ln(1+x)	xxx
(1+x)a−1(1+x)^a - 1(1+x)a−1	axaxax

Warning

易错点：等价无穷小替换只能在乘除关系中使用，不能在加减关系中直接替换！

典型例题#

求极限 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}x→0limx3tanx−sinx

解：

tan⁡x−sin⁡xx3=sin⁡x(1−cos⁡x)x3cos⁡x\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3 \cos x}x3tanx−sinx=x3cosxsinx(1−cosx)

当 x→0x \to 0x→0 时，sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x，1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}1−cosx∼2x2，cos⁡x→1\cos x \to 1cosx→1

=x⋅x22x3⋅1=12= \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2}=x3⋅1x⋅2x2=21

Caution

如果直接对 tan⁡x−sin⁡x\tan x - \sin xtanx−sinx 做等价替换为 x−x=0x - x = 0x−x=0，就会犯错！这就是”加减不能直接替换”的典型反例。

1.5 函数的连续性#

函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处连续的充要条件：

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)

即满足三个条件：

f(x0)f(x_0)f(x0) 有定义
lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0f(x) 存在
极限值等于函数值

建议配合张宇/汤家凤高数视频 + 660题对应章节练习。

马原导论与第一章世界的物质性及发展规律

Wed, 27 May 2026 00:00:00 GMT

导论：马克思主义是关于无产阶级和人类解放的科学#

马克思主义的含义#

马克思主义是由马克思和恩格斯创立并为后继者所不断发展的科学理论体系：

马克思主义哲学（世界观和方法论）
马克思主义政治经济学（主要内容）
科学社会主义（核心归宿）

Note

考点：马克思主义的三大组成部分中，科学社会主义是马克思主义的核心和归宿。

马克思主义的鲜明特征#

科学性：揭示了自然界、人类社会和思维发展的一般规律
革命性：彻底的批判精神和鲜明的政治立场
实践性：从实践中来，到实践中去
人民性：人民至上是马克思主义的政治立场
发展性：随实践和科学的发展而不断发展

第一章世界的物质性及发展规律#

第一节世界多样性与物质统一性#

哲学基本问题#

思维和存在的关系问题（即意识和物质的关系问题）：

方面	内容	划分
第一方面	思维和存在何者为第一性	唯物主义 vs 唯心主义
第二方面	思维和存在有无同一性	可知论 vs 不可知论

Tip

记忆口诀：“物质第一性 → 唯物；精神第一性 → 唯心”

唯物主义的三种历史形态#

古代朴素唯物主义：用某种具体物质形态解释世界（如水、火、气）
近代形而上学唯物主义（机械唯物主义）：以自然科学为基础，但具有机械性、形而上学性、不彻底性
辩证唯物主义和历史唯物主义：马克思主义哲学，唯物论与辩证法统一

Warning

易混淆：近代形而上学唯物主义的三个局限性——

机械性（用力学解释一切）
形而上学性（孤立、静止、片面）
不彻底性（自然观唯物，历史观唯心）

物质观#

列宁的物质定义：

“物质是标志客观实在的哲学范畴，这种客观实在是人通过感觉感知的，它不依赖于我们的感觉而存在，为我们的感觉所复写、摄影、反映。”

物质的唯一特性：客观实在性

第二节事物的联系和发展#

联系的特征#

客观性：联系是事物本身固有的
普遍性：世界上一切事物都与周围其他事物相互联系
多样性：直接联系与间接联系、内部联系与外部联系等
条件性：联系是有条件的

对立统一规律（核心）#

矛盾的两个基本属性：

同一性：矛盾双方相互依存、相互贯通，在一定条件下相互转化
斗争性：矛盾双方相互排斥、相互对立

Note

高频考点：矛盾的同一性是相对的、有条件的；斗争性是绝对的、无条件的。

质量互变规律#

量变：事物数量的增减和次序的变动，是渐进的、不显著的变化
质变：事物根本性质的变化，是渐进过程的中断

量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果。

否定之否定规律#

事物发展经历：肯定 → 否定 → 否定之否定

否定是事物的自我否定
否定是事物发展的环节
否定是新旧事物联系的环节
辩证否定的实质是”扬弃”

马原建议使用肖秀荣《精讲精练》+ 徐涛强化班视频配合学习，暑假开始即可。

Markdown 扩展功能

Thu, 01 Jan 1970 00:00:00 GMT

GitHub 仓库卡片#

您可以添加链接到 GitHub 仓库的动态卡片，在页面加载时，仓库信息会从 GitHub API 获取。

CuteLeaf

Firefly

Waiting for api.github.com...

00K

Waiting...

使用代码 ::github{repo="CuteLeaf/Firefly"} 创建 GitHub 仓库卡片。

1
::github{repo="CuteLeaf/Firefly"}

提醒框(Admonitions)配置#

Firefly 采用了 rehype-callouts 插件，支持了三种风格的提醒框主题：GitHub、Obsidian 和 VitePress。您可以在 src/config/siteConfig.ts 中进行配置：

src/config/siteConfig.ts

1
export const siteConfig: SiteConfig = {
2
  // ...
3
  rehypeCallouts: {
4
    // 选项: "github" | "obsidian" | "vitepress"
5
    theme: "github",
6
  },
7
  // ...
8
};

注意：更改配置后需要重启开发服务器才能生效。

以下是各个主题支持的类型列表，每个主题风格和语法不同，可根据喜好选择。

1. GitHub 主题风格#

这是 GitHub 官方支持的 5 种基本类型。

GitHub

基本语法

1
> [!NOTE] NOTE
2
> 突出显示用户应该考虑的信息。
3

4
> [!TIP] TIP
5
> 可选信息，帮助用户更成功。
6

7
> [!IMPORTANT] IMPORTANT
8
> 用户成功所必需的关键信息。
9

10
> [!WARNING] WARNING
11
> 关键内容，需要立即注意。
12

13
> [!CAUTION] CAUTION
14
> 行动的负面潜在后果。
15

16
> [!NOTE] 自定义标题
17
> 这是一个带有自定义标题的示例。

展开收起

2. Obsidian 主题风格#

Obsidian 风格支持非常丰富的类型和别名。

点击展开 Obsidian 语法列表

1
> [!NOTE] NOTE
2
> 通用的笔记块。
3

4
> [!ABSTRACT] ABSTRACT
5
> 文章的摘要。
6

7
> [!SUMMARY] SUMMARY
8
> 文章的总结（同 Abstract）。
9

10
> [!TLDR] TLDR
11
> 太长不看（同 Abstract）。
12

13
> [!INFO] INFO
14
> 提供额外信息。
15

16
> [!TODO] TODO
17
> 需要完成的事项。
18

19
> [!TIP] TIP
20
> 实用技巧或提示。
21

22
> [!HINT] HINT
23
> 暗示（同 Tip）。
24

25
> [!IMPORTANT] IMPORTANT
26
> 重要信息（Obsidian 风格通常使用类似的图标）。
27

28
> [!SUCCESS] SUCCESS
29
> 操作成功。
30

31
> [!CHECK] CHECK
32
> 检查通过（同 Success）。
33

34
> [!DONE] DONE
35
> 已完成（同 Success）。
36

37
> [!QUESTION] QUESTION
38
> 提出问题。
39

40
> [!HELP] HELP
41
> 寻求帮助（同 Question）。
42

43
> [!FAQ] FAQ
44
> 常见问题（同 Question）。
45

46
> [!WARNING] WARNING
47
> 警告信息。
48

49
> [!CAUTION] CAUTION
50
> 注意事项（同 Warning）。
51

52
> [!ATTENTION] ATTENTION
53
> 引起注意（同 Warning）。
54

55
> [!FAILURE] FAILURE
56
> 操作失败。
57

58
> [!FAIL] FAIL
59
> 失败（同 Failure）。
60

61
> [!MISSING] MISSING
62
> 缺失内容（同 Failure）。
63

64
> [!DANGER] DANGER
65
> 危险操作警告。
66

67
> [!ERROR] ERROR
68
> 错误信息（同 Danger）。
69

70
> [!BUG] BUG
71
> 报告软件缺陷。
72

73
> [!EXAMPLE] EXAMPLE
74
> 展示一个例子。
75

76
> [!QUOTE] QUOTE
77
> 引用一段话。
78

79
> [!CITE] CITE
80
> 引证（同 Quote）。
81

82
> [!NOTE] 自定义标题
83
> 这是一个带有自定义标题的示例。

展开收起

Obsidian

3. VitePress 主题风格#

VitePress 风格提供了一套现代化的、扁平的默认样式。目前仅包含与 GitHub 一致的 5 种 基础类型。

点击展开 VitePress 语法列表

1
> [!NOTE] NOTE
2
> 对应 GitHub 的 Note。
3

4
> [!TIP] TIP
5
> 对应 GitHub 的 Tip。
6

7
> [!IMPORTANT] IMPORTANT
8
> 对应 GitHub 的 Important。
9

10
> [!WARNING] WARNING
11
> 对应 GitHub 的 Warning。
12

13
> [!CAUTION] CAUTION
14
> 对应 GitHub 的 Caution。
15

16
> [!TIP] 自定义标题
17
> VitePress 风格同样支持自定义标题。

展开收起

VitePress

4. Docusaurus 风格语法#

仅支持语法，风格保持跟上面三个主题相同。

点击展开 Docusaurus 语法列表

支持以下类型的提醒框：note tip important warning caution

1
:::note
2
突出显示用户应该考虑的信息，即使在快速浏览时也是如此。
3
:::
4

5
:::tip
6
可选信息，帮助用户更成功。
7
:::
8

9
:::important
10
用户成功所必需的关键信息。
11
:::
12

13
:::warning
14
由于潜在风险需要用户立即注意的关键内容。
15
:::
16

17
:::caution
18
行动的负面潜在后果。
19
:::
20

21
:::tip[自定义标题]
22
可选信息，帮助用户更成功。
23
:::

展开收起

剧透#

您可以为文本添加剧透。文本也支持 Markdown 语法。

内容被隐藏了哈哈！

1
内容 :spoiler[被隐藏了 **哈哈**]！

图片画廊网格 (Image Grid)#

您可以使用 [grid] 和 [/grid] 标签将多张图片纵向并排展示。这对于展示照片画廊或对比图非常有用。系统会自动根据包裹在其中的图片数量（最多支持并排展示4张）以响应式网格进行布局。

自动补齐图片高度： 同一排中如果有高度、大小或者比例不一的图片，会像「九宫格画廊相册」一样自动撑满。较短或不协调的图片会自动使用 object-cover 进行完美中心裁剪补充视野。图片边框水平彻底对齐无缝隙，但被裁剪后，只有点击图片通过灯箱才能查看完整图片，所以建议尽量避免使用长宽比例不一致的图片在同一排中。

图注恒定底端对齐： 不论上面的图片长宽如何变化，在同一行的所有图像解释文字（图注）都会对标到一条完美的水平基线上了。

示例图片一

示例图片二

基本语法

1
[grid]
2
![示例图片一](./images/firefly1.avif)
3
![示例图片二](./images/firefly2.avif)
4
![示例图片二](./images/firefly3.avif)
5
[/grid]

halfman的破站

{{title}}

题型一：#

特征#

解法#

例题 1#

例题 2#

易错点#

题型二：#

特征#

解法#

例题 1#

例题 2#

易错点#

题型三：#

特征#

解法#

例题 1#

易错点#

总结#

题型一：#

特征#

解法#

例题 1#

例题 2#

易错点#

题型二：#

特征#

解法#

例题 1#

例题 2#

易错点#

题型三：#

特征#

解法#

例题 1#

易错点#

总结#

第三章 进程管理

3.1 进程的基本概念#

进程的定义#

进程的组成#

进程的状态与转换#

3.2 进程调度算法#

FCFS（先来先服务）#

SJF（短作业优先）#

时间片轮转（RR）#

3.3 进程同步与互斥#

临界区问题#

Peterson 算法#

信号量机制#

数学LaTeX公式速查手册

一、基础符号#

二、希腊字母#

三、集合符号#

四、微积分符号#

4.1 导数#

4.2 积分#

4.3 极限#

4.4 求和与求积#

五、三角函数#

六、对数与指数#

七、线性代数#

7.1 矩阵#

7.2 常用矩阵#

7.3 向量#

八、概率论#

8.1 概率符号#

8.2 随机变量#

8.3 常见分布#

九、常见公式#

9.1 极限公式#

9.2 洛必达法则#

9.3 泰勒展开#

9.4 积分公式#

9.5 欧拉公式#

十、使用技巧#

10.1 LaTeX Suite 快捷输入#

10.2 分段函数#

10.3 多行公式对齐#

第三章进程管理

第一章函数与极限

马原导论与第一章世界的物质性及发展规律

第一章世界的物质性及发展规律#

第一节世界多样性与物质统一性#

第二节事物的联系和发展#